2019年福建省名校联合模拟试卷一第25题（直角三角形与圆）
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2019年福建省名校联合模拟试卷一第25题
（注：受邀于4月21日在南安进修校为这场考试做质量分析和今后教学思考的讲座，下面内容是这场讲座中的部分试题分析与思考）
【名校联考】如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB=10，点D是AC边上一点（不与C重合），以AD为直径作⊙O，过C作CE切⊙O于E，交AB于F.
（1）若⊙O半径为2，求线段CE的长
（2）若AF=BF, 求⊙O的半径；
（3）如图2，若CE=CB，点B关于AC的对称点为点G，试求G、E两点之间的距离。
【图文解析】
试题背景（题干）简要分析：
根据条件，△ABC可解，相应的∠A和∠B的三角函数值等所有与△ABC相关的结论均可求出．
（1）如下图示，可由勾股定理直接求得CE的长，CE＝4√2．
（2）如下图示：
不难得到∠ACF＝∠A，
根据三角函数的定义，得
sin∠ACF＝OE/OC＝R/(8-R)，
sin∠B＝BC/AB＝6/10．
所以R/（8-R）＝6/10．
解得R＝3．
（用相似来解，本质相同）
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（3）当CE＝AB＝6时，如下图示：
（隐藏无关的线段与点，先不理点E在不在AB上，EG是否经过D点，本题的难度正是这些点与线的纠缠不清！）如下图示：
标注上相关数据后，类似第二问，不难得到相关结论，如下图示：
根据勾股定理，可求得R＝7/4．
进一步，得OC＝25/7，OE＝7/4
得到Rt△OCE可解，因此就有了以下解法：
根据面积公式，可求得EN＝OE×CE/OC＝…＝42/25．进一步，得CN＝144/25．
进一步，得（如下图示）
最后利用勾股定理，可求得GE＝48/5．
当然也通过相似求解．
（注：参考答案的解法与本题的分析不同）
继续思考：
【拓展1】若连接BE，当△BCE为直角三角形时，求⊙的半径．
【拓展2】若连接BE，当△BCE为等腰三角形时，求⊙的半径．
【拓展3】在第三问的基础上，若T是GC的中点，连接AT．
（1）当AT∥CE时，求⊙的半径；
（2）连接DT，当sin∠ATC＝4/5时，求DT的长．
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